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EXOMATH, Vecteurs colinéaires

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Vecteur colinéaires

Voici une notion très importante: la colinéarité.

Deux vecteurs sont dits colinéaires s'ils ont la même direction (ils ne sont pas obligés d'avoir le même sens, ni la même norme). Cela signifie que si l'on trace les droites qui portent des vecteurs colinéaires, ces droites seront parallèles:

Puisque nous savons que l'on peut multiplier un vecteur par un nombre et que cette multiplication aura pour effet d'agrandir (X un nombre plus grand que 1) ou rétrécir(X un nombre entre 0 et 1) le vecteur mais aussi de le retourner (X un négatif), cela signifie que l'on a la propriété très importante:

Propriété: Deux vecteurs ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un nombre réel $k$ tel que ${u}↖{→}=k{v}↖{→}$.

Remarquons qu'alors le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs du plan.

Dans la pratique la colinéarité de deux vecteurs va nous être très utile pour:

- montrer que des droites sont parallèles

- montrer que des points sont alignés. En effet il faut bien retenir que dire que les droites (AB) et (AC) sont parallèles revient à dire que les point A, B, C sont alignés puisque parallèles avec un point commun donc confondues. Pour montrer que trois points distincts sont alignés, il suffira donc de prouver qu'il existe un nombre $k$ tel $k{AC}↖{→}={AB}↖{→}$.

Par exemple, montrer que les point A(3,4), B(5,5), C(-1,2) sont alignés.

Réponse: on cherche les coordonnées de ${{AB}↖{→}$ et ${{AC}↖{→}$

${{AB}↖{→}(\table 5-3;5-4})$ soit ${{AB}↖{→}(\table 2;1})$

${{AC}↖{→}(\table -1-3;2-4})$ soit ${{AB}↖{→}(\table -4;-2})$

Or, $-2×2=-4$ et $-2×1=-2$ donc $-2{AB}↖{→}={AC}↖{→}$. On en conclue donc que ${AB}↖{→}$ et ${AC}↖{→}$ sont colinéaires et que A,B, C sont alignés.