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EXOMATH, Cosinus d\'un angle

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exercices intéractifs

Trigonométrie en 3ème

 

Dans un triangle rectangle, il y a trois côtés dont un s'appelle l'hypoténuse (le côté face à l'angle droit). Si l'on considère le triangle ABC rectangle en A, après l'hypoténuse [BC] il reste deux côtés; on va donc appeler côté adjacent à B le segment qui est un côté de l'angle B mais qui n'est pas l'hypoténuse donc [BA]. Le côté opposé à B est le côté qui n'est pas un côté de l'angle B, [CA] est le côté opposé à B.

Dans la pratique, les élèves se trompent sur le côté adjacent. Je leur conseille donc de trouver en 1er l'hypoténuse puis le côté opposé à l'angle qui nous intéresse. Il ne reste que le côté adjacent !

adjacentopposeTrigo

Dans ABC rectangle en A on définit le cosinus de l'angle B, le sinus de l'angle B et la tangente de l'angle B par

Côté adjacent à B

BA

$cos(B↖{\text "^"})$=

-----------------------------

=

------------

Hypoténuse

BC

 

Le cosinus, n'a pas d'unité et se trouve entre -1 et 1. Au collège on n'est pas obligé de comprendre pourquoi ces formules ont un sens pour réussir les exercices. Une explication bien courte est: si j'agrandis mon triangle, l'angle ne change pas mais les mesures des côtés sont forcément modifiées. Pourtant cette division donne toujours le même résultat. Cela signifie donc que cette fraction ne dépend que de la mesure de l'angle et c'est la raison pour laquelle on l'a baptisé cos....ouf.

Avec la calculatrice on peut :

- trouver le cosinus si l'on connaît la mesure de l'angle B avec la touche cos.

- trouver la mesure de l'angle si l'on connait le cosinus avec la touche $cos^{-1}$ ,(ou Acs ou Arccos, Arcsin selon les modèles en général au dessus de la touche cos ou dans le menu trig et s'obtient donc en faisant 2nd puis cos)

Faites très attention, comme le cosinus travaille sur des angles, il faut régler votre calculatrice en degrés si votre exercice est en degrés. (il existe aussi les radians et les gradians).

Voici deux exercices corrigés qui illustrent comment utiliser ces formules.

Exercice 1: PRI rectangle en R tel que RI=7 cm et RP = 9 cm mesure de Î ?

On constate que par rapport à l'angle Î, on connait le côté adjacent à Î qui est RI et l'hypoténuse RP. On va donc utiliser le cosinus.

Voici comment on rédige un tel exercice:

Comme le triangle PRI est rectangle en R, je peux utiliser le cosinus

$\table cos(Î),=,{RI}/{RP};,=,7/9;$

$ \table \text "donc " Î,=,cos^{-1}({7/9});,≈,38\text ","9° \text "par défaut"$

c'est la calculatrice qui donne 38,9°. Pour cela j'appuie sur la touche 2nd puis cos. Si vous ne trouvez pas la même réponse cela veut dire que votre calculatrice n'est pas réglée en degrés. (Appuyez sur config).

 

Exercice 2: BAC rectangle en B tel que Â=28° et BA=10 cm. Calculer AC à 0,1 cm près (1 chiffre après la virgule).

Ici, on constate que par rapport à l'angle Â, on connaît BA qui est la longueur du côté adjacent à Â et on cherche AC qui est l'hypoténuse. On est donc en train de parler du cosinus.

Voici comment on rédige un tel exercice:

Comme le triangle BAC est rectangle en B, je peux utiliser les formules de trigonométrie:

$\table cos(Â),=,{BC}/{AC};sin(28),=,10/{AC};$

$\table \text "donc "AC,=,10/{cos(28)};,≈,11\text ",3 cm par défaut."$

Pour passer à la dernière ligne, je conseille aux élève de penser à un produit en croix en complétant cos(28):

${cos(28)}/1=10/{AC}$, le produit en croix donne $ AC = {10 ×1}/{cos(28)}$.

 

 

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L'exercice

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