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EXOMATH, L\'inégalité triangulaire

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L'inégalité triangulaire

L'inégalité triangulaire ne fait que traduire l'idée que le plus court chemin d'un point à un autre est la ligne droite. Si le chemin est plus long c'est que l'on sort de la ligne droite. Si le chemin est plus court que le plus court chemin....c'est impossible.

Inégalité triangulaire : un triangle n'existe que si la somme des longueurs des 2 plus petits côtés est supérieure ou égale à la mesure du plus grand côté. En cas d'égalité, le triangle est plat: les 3 points sont alignés.

Exemple 1 : le triangle ABC tel que AB=4 cm, AC = 8 cm et BC = 3 cm existe-il?

J'additionne les longueurs des deux plus petits côtés:

AB+BC=4+3=7 cm.

On a donc AB+BC< AC, la somme des deux plus côtés est inférieure au plus grand côté donc ce triangle n'existe pas.

Exemple 2: Tracer EDF tel que ED=3 cm, EF=7 cm et DF=4cm.

Commentaire: cet exercice est classique. Comme on connaît les trois longueurs, les élèves se lancent sans réfléchir sur la construction au compas. Les élèves ont tendance à tracer le plus grand côté puis à tracer deux arcs de cercle pour trouver le troisième sommet. Bien souvent ils obtiennent un triangle presque plat mais non plat.....nous allons voir que c'est faux puisque ce triangle est plat.

Réponse:

J'additionne les longueurs des deux plus petits côtés:

ED+DF=4+3=7 cm.

On a donc ED+DF=EF, la somme des deux plus côtés est égale au plus grand côté donc ce triangle est plat.

Pour le tracer, je trace [EF] puis je place le point D sur [EF] avec ED=3 cm !