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EXOMATH, Sens de variation d\'une suite

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Suite : sens de variation

Une suite est dite strictement croissante si un<un+1.
Une suite est dite strictement décroissante si un>un+1.
Si un est définie par un=f(n) alors un a le même sens de variation que la fonction f sur $R^{+}$.

Il existe deux techniques pour connaître le sens de variation d'une suite :
on s'intéresse à un-un-1
ou au rapport $ u_n/u_{n-1} $ si l'on sait que les termes sont tous de même signe et on compare le résultat à 1. Si par exemple, tous les termes sont positifs et $ u_n/u_{n-1} ≤1$ alors la suite est décroissante.

Exemples :

1) Soit la suite un définie pour n>0: $u _n=3n-5^n$. Quel est la monotonie (sens de variation) de cette suite ?

Calculons $ u_{n+1}-u_n$.

$\table u_{n+1}-u_n,=,{(3(n+1)-5^{n+1})}-{(3n-5^n)};,=,3n+3-5^n×5-3n+5^n;,=,3+5^n(1-5);,=,-4×5^n+3$,

ce qui est negatif pour tout n0. La suite est donc strictement croissante.

2) Soit la suite un définie par : $u _n=3^n/n^2$. Quel est la monotonie (sens de variation) de cette suite ?

On constate que tous les $u_n$ sont positifs. Calculons $ u_{n+1}/u_n$ et comparons à1.

$\table u_{n+1}/u_n,=,{3^{n+1}/{(n+1)}^2}/{3^n/n^2};,=,{3^{n+1}/{(n+1)}^2}×{n^2/3^n};,=,{3^{n+1}/3^n}×{n^2/{n+1}^2};,=, 3×{(n+1)-1}/{n+1};,=,3×(1-1/{n+1});$

Pour tout n≥1, $ 3×(1-1/{n+1})>1$ donc cette suite est strictement croissante.