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EXOMATH, Limite d\'une suite

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Suites: limites

Définition: la suite $u_n$ admet pour limite le réel l si, tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de $u_n$ à partir d'un certain rang.

On note: ${lim}_↙{n→∞}=l

Dans ce cas, on dit que l'on a une limite finie.

Définition: Soit $M∈ℝ$. La suite $u_n$ admet pour limite $+∞$ (respectivement $-∞$) si, tout intervalle de la forme ]M,+∞[ (respectivement ]-∞;M[ contient toutes les valeurs de $u_n$ à partir d'un certain rang.

On note ${lim}_↙{n→∞}=∞$ (respectivement ${lim}_↙{n→∞}=-∞$.

Dans ce cas, on dit que l'on a une limite infinie.

Exemple:

Etudions la limite de $u_n={1-n}/{1+n}$.

A la calculatrice, on observe que cette suite tend vers -1.

Pour le démontrer, on va étudier $u_n-(-1)$ et montrer que $u_n+1$ tend vers zéro, ce qui prouvera que $u_n$ tend vers -1.

$u_n+1={2}/{1+n}$.

On voit que $u_n+1>0$.

Soit ε un nombre positif, peut-t-on avoir $0<{2}/{1+n}<ε$ toujours vraie à partir d'un certain rang?

Cela est équivalent à: $2<ε+εn$, en multipliant par 1+n qui est positif,

équivalent à: $2-ε<εn$

équivalent à: ${2-ε}/ε<n$

Donc pour tout $n>Ent({2-ε}/ε)$, on a bien $ε>u_n-(-1)>0$, ce qui prouve que la limite de $u_n$ est bien -1.

Remarque: si l'on a appris à composer des limites, vu que 1+n tend vers l'infini, alors ${2}/{1+n}$ tend vers 0.