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EXOMATH, Limite d\'une suite

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Vers la notion de limite d'une suite.

Dans ce chapitre, on s'intéresse au comportement d'une suite $u_n$ lorsque n est de plus en plus grand, que n tend vers "plus infini" (+∞). On dit que l'on s'intéresse à la limite de la suite.

Lorsque n tend vers ∞, tout peut arriver. La suite peut ne jamais se stabiliser, la suite peut converger vers un nombre fini (elle s'en rapproche de plus en plus), elle peut tendre vers +∞ ou -∞, c'est à dire qu'elle prend des valeurs de plus en plus grandes.

Pour chercher par exemple si une suite a pour limite 0, on cherche à savoir si au bout d'un moment les termes s'accumulent près de zéro. On va donc chercher à savoir si, à partir d'un certain rang n, tous les termes de la suite sont à moins d'une certaine distance de zéro. Si l'on arrive à répondre oui, quelque soit la distance choisie, cela signifie que la suite tend vers 0. On fait de même pour une limite vers un nombre l donné.

Pour montrer qu'une suite tend vers +∞, il faut prouver que la suite peut devenir plus grande que n'importe quel nombre N pour tous ses termes à partir d'un certain rang.

Exemple 1:

Une suite géométrique de raison 2 et avec $u_0=1$. On a donc $u_n=2^n$. Montrons que cette suite tend vers +∞.

Est-ce que "à partir d'un rang que je cherche, u>1000000?".

A la calculatrice on trouve que $2^{20}=1048576$ et comme cette suite est croissante, à partir du rang 20, tous les termes seront supérieurs à un million.

On peut refaire ce raisonnement pour un autre nombre que 1 million et on trouvera un rang à partir duquel tous les termes sont plus grands.

On en conclue donc que cette suite a pour limite plus infini.

Exemple 2: Soit $v_n=2+1/{3n}$. On veut montrer que la limite de v est 2.

v est toujours supérieure à 2 puisque 1/{3n} est positif.

Pouvons nous nous rapprocher autant qu'on le veut de 2 à partir d'un certain rang?

Prenons par exemple à 0,001 près de 2. On veut: 1,999<$u_n$<2,001.

Cela revient à: 1,999<$2+1/{3n}$<2,001.

soit en ôtant 2: -0,001<1/{3n}<0,001.

On sait déjà que 0<$1/{3n}$<0,001. On peut passer à l'inverse et on change le sens de l'inégalité:

$3n>1/{0,001}$ soit $n>1000/3$. Donc pour tout n>333, les termes de la suite sont à 0,001 près de 2.