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Définition: soient M et m deux nombres réels. On dit que la suite $u_n$ est:
-majorée par M si, pour tout $n∈ℕ$, $u_n≤M$;
-minorée par m si, pour tout $n∈ℕ$, $u_n≥m$;
-bornée si, pour tout $n∈ℕ$,$m≤u_n≤M$.
Exemple: la suite $u_n=(-1)^n$ est minorée par -1 et majorée par 1. Elle est donc bornée car elle est comprise entre -1 et 1.
Remarque, nous aurions pu dire que cette suite est minorée par -2! Un minorant n'est donc pas unique.
A l'aide de ces définitions et du sens de variation de la suite on peut parfois en déduire la convergence de la suite.
Théorème de convergence monotone:
Toute suite croissante et majorée admet une limite finie.
Toute suite décroissante et minorée admet une limite finie
Toute suite croissante et non majorée a pour limite $+∞$.
Toute suite décroissante et non minorée a pour limite $-∞$.
Exemple: le nombre de Champernowne.
Soit la suite définie par $u_1=0,1$, $u_2=0,12$, $u_3=0,123$ ainsi de suite. Cette suite admet une limite finie.
En effet, cette suite est croissante et elle est majorée par 1.....donc elle converge vers une limite finie !.