Les suites arithmétiques

Le principe d'une suite arithmétique est de passer d'un terme au suivant en additionnant toujours le même nombre r que l'on appelle raison.

On a donc $u_{n+1}=u_n+r$

Propriété: Si $u_n$ est une suite arithmétique de raison r et de premier terme $u_0$ alors $u_n=u_0+nr$.

On s'intéresse très souvent à la somme des termes d'une suite. Dans le cas d'une suite arithmétique, on démontre en additionnant les termes premier+dernier, 2ème+avant dernier, etc...on a toujours la même somme. On trouve alors que la somme des n+1 termes d'une suite arithmétique $S_n=u_0+...+u_n$ est :

$$S_{n}={(n+1)}/2(u_0+u_n)$$.

Si $u_0=0$ et r=1 on obtient la somme des n premiers entiers: $1+2+....+n={n(n+1)}/2$.

Exemple: la suite u dont le premier terme est 4 et la raison est 2. On a donc $u_0=4$, $u_1=4+2=6$.

On peut écrire $u_{n+1}=u_n+2$ et $u_n=4+2n$. Le 10ème terme de la série est donc $u_9=4+9×2=22$.

Démontrons que la somme des n premiers termes est bien : ${(n+1)}/2(4+4+2n)$

Ecrivons 2 fois cette somme. En partant du premier terme puis du dernier:

$\table S_n=,4,6,...,4+2(n-1),4+2n;S_n=,4+2n,4+2(n-1),.....,6,4;somme=,4+4+2n,6+4+2(n-1),....,4+2(n-1)+6,4+2n+4$

On constate que la somme fait toujours $ 8+2n$. On a n+1 fois ce résultat donc on le multiplie par 2. On a fait deux fois cette somme donc on divise par 2. Finalement le résultat est: ${(8+2n)(n+1)}/2$.