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Attention, la formule qui permet de calculer une longueur dans un repère n'est valable que dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires et graduation identique sur les deux axes).
$AB=√{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.
C'est le théorème de Pythagore qui donne ce résultat.
Exemple1: Soit A(-5;6) et B(7;-3). Donner AB.
$\table AB,=,√{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2};,=,√{(7-(-5))^2+(-3-6)^2};,=,√{12^2+(-9)^2};,=,√{144+81};,=,√225;,=,15$.
Attention encore une fois aux relatifs. Ici le carré de -9 et la soustraction de -5 sont deux difficultés.
Exemple 2: Soit A(-3;2) et C le cercle de centre A et de rayon 4 cm. Trouver les coordonnées d'un point de l'axe des ordonnées qui appartient au cercle.
Si $M(x,y)$ est un point du cercle, alors AM=4. Calculons AM:
$AM=√{(x-(-3))^2+(y-2)^2}$, donc $AM=√{(x+3)^2+(y-2)^2}$
donc $AM^2={(x+3)^2+(y-2)^2}$
Puisque on cherche un point de l'axe des ordonnées, $x=0$ donc
$AM^2={(0+3)^2+(y-2)^2}$ soit $AM^2={9+(y-2)^2}=16$ puisque le rayon est 4.
On résout l'équation: $9+(y-2)^2=16$ qui revient à $(y-2)^2=16-9$.
Il y a donc deux solutions: $y-2=√7$ ou $y-2=-√7$.
Donc $y=2+√7$ ou $y=2-√7$.
On a donc deux possibilités (0;$2-√{7}$) et (0;$2+√{7}$).
On constate encore une fois que l'on a besoin d'autres chapitres: ici les racines carrées et la résolution d'équations du type $x^2=a$ qui admet $√a$ et $-√a$ comme solution quand a>0.