L'appli sur Google Play

EXOMATH, Rep%C3%A8re:%20calculer%20une%20longueur

Acceder directement à la leçon

Calculer la longueur d'un segment dans un repère

Attention, la formule qui permet de calculer une longueur dans un repère n'est valable que dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires et graduation identique sur les deux axes).

$AB=√{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

C'est le théorème de Pythagore qui donne ce résultat.

Exemple1: Soit A(-5;6) et B(7;-3). Donner AB.

$\table AB,=,√{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2};,=,√{(7-(-5))^2+(-3-6)^2};,=,√{12^2+(-9)^2};,=,√{144+81};,=,√225;,=,15$.

Attention encore une fois aux relatifs. Ici le carré de -9 et la soustraction de -5 sont deux difficultés.

Exemple 2: Soit A(-3;2) et C le cercle de centre A et de rayon 4 cm. Trouver les coordonnées d'un point de l'axe des ordonnées qui appartient au cercle.

Si $M(x,y)$ est un point du cercle, alors AM=4. Calculons AM:

$AM=√{(x-(-3))^2+(y-2)^2}$, donc $AM=√{(x+3)^2+(y-2)^2}$

donc $AM^2={(x+3)^2+(y-2)^2}$

Puisque on cherche un point de l'axe des ordonnées, $x=0$ donc

$AM^2={(0+3)^2+(y-2)^2}$ soit $AM^2={9+(y-2)^2}=16$ puisque le rayon est 4.

On résout l'équation: $9+(y-2)^2=16$ qui revient à $(y-2)^2=16-9$.

Il y a donc deux solutions: $y-2=√7$ ou $y-2=-√7$.

Donc $y=2+√7$ ou $y=2-√7$.

On a donc deux possibilités (0;$2-√{7}$) et (0;$2+√{7}$).

On constate encore une fois que l'on a besoin d'autres chapitres: ici les racines carrées et la résolution d'équations du type $x^2=a$ qui admet $√a$ et $-√a$ comme solution quand a>0.