Introduction aux probabilités
En troisième, on introduit les probabilités. L'objectif principal de cette introduction aux probabilités est de faire comprendre aux élèves la différence entre probabilité et statistiques (voir sur + statistiques vs probabilités). Les probabilités sont un domaine des mathématiques très important de nos jours et assez difficile.
Voici tout d'abord le vocabulaire de base:
- une issue possible est un résultat possible. Par exemple, lorsque je lance un dé à six faces, il y a 6 issues possibles. On peut très bien parler d'issues qui ne sont pas possibles! Par exemple: faire un 7 avec un seul dé à six faces.
- un événement est un ensemble d'issues. Par exemple, on peut s'intéresser à l'événement: "le résultat obtenu est un multiple de 3".
- des événements sont dit indépendants lorsqu'ils n'ont aucune influence l'un sur l'autre. Par exemple je viens de faire "6" avec un dé, j'ai toujours autant de chances de refaire un 6...il n'y a aucun lien entre chaque tirage.
- un événement contraire d'un événement A se note $A↖\text "_"$ ou non A. Il se réalise lorsque A ne se réalise pas.
- deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas être réalisés en même temps. Par exemple faire avec le dé un multiple de 3 et de 4.
- une expérience aléatoire a lieu lorsque l'on ne peut pas prédire le résultat de l'expérience.
- la probabilité (dans le cas où chaque issue a la même probabilité, par exemple un dé non truqué) se calcule avec la formule:
$${\text "nombre d'issues qui réalisent l'événement étudié"}/{\text "nombre total d'issues"}$$
Nous avons alors les propriétés suivantes:
- la probabilité d'un événement est toujours entre 0 et 1. Si la probabilité est 1, c'est un événement certain, si c'est zéro, c'est un événement impossible.
- la somme de la probabilité de toutes les issues possibles est 1
- la somme de la probablité d'un événement et de son contraire est 1.
- si on réalise une expérience une infinité de fois alors la fréquence de l'événement correspond à la probabilité.
Exemple: Prenons un jeu de 32 cartes. Rappelons qu'il y a 4 couleurs "pique, trèfle, coeur, carreau" et qu'il y a huit cartes de chaque : "7,8,9,10, valet, dame, roi, as".
On tire au hasard une carte
a) Quelle est la probabilité de A="tirer un as" ?
Il y a 32 issues possibles et on s'intéresse à l'événement :"tirer un as". Cet événement a 4 issues possibles: As de trèfle, de pique, de coeur, de carreau.
La probabilité est: $p(A)=4/{32}
b) quelle est la probabilité de B="tirer un pique"?
Il y a huit piques donc $p(B)=8/{32}=1/4=0,25
c) quelle est la probabilité de C="tirer un as ou du pique" ?
Attention il y a un as de pique! Il y a donc 4 as et il reste alors 7 piques donc 4+7=11 issues qui réalisent C:
$p(C)=11/{32}$
d) quelle est la probabilité de D="tirer ni un as, ni du pique"?
Cet événement est contraire à C: $D=C↖\text "_"$ donc $p(D)=1-p(C)=1-11/{32}$
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