Multiples, diviseurs et critères de divisibilité
Un nombre $a$ est divisible par un nombre $b$ si le reste de la division euclidienne (division avec quotient entier) est zéro.
Par exemple, 12 est un diviseur de 24 car 12×2=24.
On dit aussi que 24 est un multiple de 12.
Pour savoir si deux nombres sont multiples l'un de l'autre, il faut donc
1) soit le savoir avec les tables pour les petits nombres
2) soit poser la division et voir si le reste est zéro
3) soit connaître une propriété qui peut nous économiser la division.
Pour certains nombres, on peut savoir facilement s'ils sont diviseurs. On appelle cela les critères de divisibilité.
Pour savoir si un nombre est divisible par 2, il suffit de vérifier que c'est un nombre pair (son chiffre des unités est 0;2;4;6 ou8).
Un nombre entier est divisible par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 10, si son chiffre des unités est 0.
Cela se complique pour 3. Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. En clair, j'additionne tous les chiffres. Si le résultat est un multiple de 3 alors mon nombre est un multiple de 3.
Par exemple: 2751? Je fais 2+7+5+1=15. Or 15 est bien dans la table de 3 donc 2751 aussi.
On utilise la même technique pour 9:
Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
Par exemple, 2751 n'est pas un multiple de 9 puisque 15 ne l'est pas. Mais 7776 oui car 7+7+7+6=27 et 27 est dans la table de 9.
C'est à partir de là que tout se mélange pour certains élèves. Cette règle d'addition des chiffres ne fonctionne QUE pour 3 et 9.
Enfin pour la table de 4, il suffit de vérifier si les deux derniers chiffres (dizaines et unités) forment un nombre qui est dans la table de 4.
Par exemple 126 432, on regarde 32 qui est bien dans la table de 4 donc 126432 est divisible par 4.
Autre exemple, plus difficile: 86 792? On ne s'intéresse qu'à 92. Comment savoir si 92 est dans la table de 4? On va soustraire 40....cela donne 52. On recommence alors ...cela fait 12. Et 12 est bien dans la table de 4 donc 86 792 est dans la table de 4.
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