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EXOMATH, Propriétés sur l\'intégration

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Intégration: propriété, moyenne

Puisque que l'intégrale d'une fonction calcule l'aire délimitée par la fonction et l'axe des abscisses (l'aire étant négative lorsque la courbe est sous l'axe), on peut utiliser l'intégrale pour calculer la moyenne d'une fonction. Il suffit de diviser le résultat de l'intégrale par la longueur de l'intervalle d'intégration.

On a donc pour $a<b$, la valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[a;b]$ qui est $μ={∫_a^b f(x)dx}/{b-a}$

Voici quelques propriétés évidentes lorsque l'on a compris que l'intégrale calcule l'aire entre la fonction et l'axe des abscisse:

Soient $a<b$ et une fonction $f$ continue sur [a,b] telle que dans cet intervalle $f(x)≥0$ alors $∫_a^b f(x)dx≥0$.

Si $g(x)≤f(x)$ sur $[a;b]$ alors $∫_a^b f(x)dx ≤∫_a^b g(x)dx$.

 

Enfin, la propriété sur l'inégalité de la moyenne que le graphique explique clairement:

Soient $a<b$ et une fonction $f$ continue sur [a,b] telle que sur cet intervalle $m≤f(x)≤M$ alors $m(b-a)≤∫_a^b f(x)dx≤M(b-a)$.

L'intégrale est linéaire:

$∫_a^b αf(x)+βg(x)dx=α∫_a^b f(x)dx + β∫_a^b g(x)dx$

Rajoutons la relation de Chasles:

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$.

Pour tout $a∈I$, $∫_a^a f(x)dx =0$

Pour tout $a,b,c∈I^3$, $∫_a^b f(x)dx+∫_b^c f(x)dx =∫_a^c f(x)dx$.

Et enfin, l'inversion des bornes donne un résultat de signe opposé:

$∫_a^b f(x)dx=-∫_b^a f(x)dx$