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EXOMATH, Int��gration

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Intégration: introduction

Le calcul intégral joue un rôle très important dans les sciences, elles permettent de calculer des aires, des volumes, en physique avec les champs magnétiques, en thermodynamique....etc.

L'intégrale est introduite comme la mesure de l'aire située entre une courbe et l'axe des abscisses. Cette aire étant négative lorsque la fonction est située en dessous de l'axe et positive lorsqu'elle est au dessus.

Dans la pratique on retient que l'intégrale est en quelque sorte la solution de la question: "quelle fonction a pour dérivée f ?" Cette fonction s'appelle la primitive et permet de calculer l'intégrale.

Exemple, quelle est la primitive de $f(x)=3x^2$? On devine qu'il faudra du $x^3$! On trouve que $F(x)=x^3$ mais, $F(x)=x^3+10$ est aussi une solution. Il existe donc une infinité de solution à une constante près. Cela ne posera pas de problème dans le calcul intégral et on prendra donc la première réponse.

Propriété: Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et F une primitive de $f$ sur $I$ (en d'autres termes: $F'=f$) alors pour tout $(a,b)∈I^2$, $∫_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$.

Reprenons notre exemple:

$∫_0^2 3x^2dx=F(2)-F(0)$, avec $F(x)=x^3$ puisque $(x^3)'=3x^2$. Donc,

$∫_0^2 3x^2dx=2^3-0^3=8$. Si l'unité du repère est 1cm, on peut en conclure que l'aire située entre l'axe des abscisses et la courbe d'équation $y=3x^2$, pour $x$ entre 0 et 2, est de 8 cm².