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EXOMATH, Signe d\'un produits

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Signe d'un produit

De nombreuses inéquations peuvent se ramener (en utilisant par exemple la factorisation) à l'étude du signe d'un produit ou d'un quotient.

Cette règle n'est pas nouvelle puisque la multiplication des relatifs démarre en 4ème.

On va l'utiliser sous forme de tableau pour résoudre certaines inéquations: (avec $b≠0$)

signe de a - - + +
signe de b - + - +
signe de a×b ou $a/b$ + - - +

L'étude d'un produit mène souvent à l'étude du signe de $ax+b$. On rappelle que si $x={-b}/a$, $ax+b=0$ et pour $x>{-b}/a$, $ax+b$ est du signe de a.

Exemple 1:

Résoudre ${3x-2}/{6-2x}>0$

On trouve que $3x-2=0$ pour $x=2/3$ et $6-2x=0$ pour $x={-6}/{-2}=3$. On place ces deux valeurs dans un tableau (dans le bon ordre!) et on note que 3 est une valeur interdite car on ne peut pas diviser par zéro. On crée une ligne pour$3x-2$, une pour "6-2x$ et une pour le signe du quotient.

On peut donc répondre : $2/3<x<3$ ou $x∈]2/3;3[$

Exemple 2: résoudre l'inéquation $(x-3)^2≦16$

cela revient au même que de résoudre $(x-3)^2-16≦0$

on reconnait le résultat d'une identité remarquable a²-b²=(a-b)(a+b). On l'utilise pour factoriser:

Cela revient à : $((x-3)-4)((x-3)+4)≦0$

Cela revient à : $(x-7)(x+1)≦0$

La réponse est donc $x∈]- ∞;-1]∪[7;+ ∞[