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Un trinôme du second degré n'est rien d'autre qu'un polynôme du second degré vu en seconde. $f$ est donc un trinôme du second degré si,et seulement si, on peut l'écrire sous la forme $ax^2+bx+c$ avec a,b,c réel et a≠0.
Un trinôme est en fait constitué de trois monômes. Un monôme est de la forme $ax^n$ avec a non nul et n entier naturel. $5x^4+3x^2+5x$ est donc un trinôme mais pas un trinôme du second degré.
Les nombres a, b, c sont les coefficients du polynôme.
Le signe de a détermine le sens de variation de la fonction polynôme. L'extremum de la fonction est atteint pour $α={-b}/{2a}$.
Théorème : Tout trinôme du second degré peut s'écrire sous la forme $a(x-α)^2+β$ avec $α={-b}/{2a}$. Cette forme est appelée forme canonique.
Exercice: Trouver la forme canonique de $-4x^2+6x-7$.
On commence par factoriser par $-4$ dans $-4x^2+6x$ :
$\table -4x^2+6x,=,-4(x^2-6/4x);,=,-4(x^2-1,5x)$.
On cherche ensuite une identité remarquable qui donne $x^2-1,5x+....$ c'est $(x-0,75)^2$ puisque 2×0,75=1,5.
Mais $(x-0,75)^2=x^2-1,5x+0.5625$. et $-4(x-0,75)^2=-4x^2+6x-2,25$. Il faut donc ajouter 2,25! (-7+2.25=-4,75)
Donc $-4x^2+6x-7=-4(x-0,75)^2-4,75$.
Cette écriture nous permet d'affirmer que le maxium(puisque a<0) de la fonction est -4,75 et qu'il est atteint pour $x={-6}/{2×(-4)}=0,75$.
Voici la représentation graphique: