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La fonction logarithme népérien est la fonction inverse de la fonction exponentielle. Elle est crée comme étant la fonction solution de l'équation $e^t=x$ avec $t$ comme inconnue et $x>0$ (puisque la fonction exponentielle est strictement positive) et alors on note $t=ln(x)$.
Il en suit les propriétés suivantes:
Pour tout réel $x>0$, $e^{\ln(x)}=x$
Pour tout réel $x$, $\ln(e^x)=x$
La fonction ln est continue, dérivable, strictement croissante sur $]0;+∞[.
On a: $\ln'(x)=1/x$.
Voici quelques propriétés évidentes ou faciles à mémoriser si l'on a en tête la courbe représentative de la fonction logarithme népérien:
$\ln(a)=\ln(b)⇔a=b$ et $\ln(a)<\ln(b)⇔a<b$
A retenir aussi: $\ln(a)<0⇔0<a<1$
$\ln(a)=0⇔a=1$
$\ln(a)>0⇔a>1$.
La fonction logarithme croit de moins en moins vite. Sa courbe représentative est symétrique à la courbe représentative de la fonction exponentielle par rapport à la droite d'équation y=x.
Voici les propriétés de la fonction logarithme népérien:
Pour tout réel $a$ et $b$ strictement positifs:
$\ln(a×b)=\ln(a)+\ln(b)$
$\ln(1/a)=-\ln(a)$
$\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$
$\ln(a^n)=n\ln(a)$
$\ln(√a)=1/2a$
Voici les limites comparées:
$\lim↙{x→0}{x\ln(x)=0$
$\lim↙{x→+∞}{\ln(x)}/x=0$
$\lim↙{x→0}{\ln(1+x)}/x=1$
D'après la leçon sur les fonctions composées, $\ln'(u)={u'}/u$.
Enfin, on peut caractériser autrement la fonction logarithme népérien. En effet, c'est la fonction solution de l'équation fonctionnelle sur $]0;+∞[ de $f(x×y)=f(x)+f(y)$ est $k\ln(x)$ où $k$ est un réel à déterminer.
On définit à partir du logarithme népérien le logarithme décimal par $\log(x)={\ln(x)}/{\ln(10)}$. Cette fonction admet les mêmes propriétés que la fonction logarithme népérien et de plus, $\log(10^x)=x$.