La fonction inverse
La fonction inverse est définie sur ${ℝ}^{*}$ (c'est à dire pour tout réel non nul) par :$$f(x)=1/x$$
Elle ne peut pas être définie pour $x=0$ puisqu'on ne peut pas diviser par zéro.
Voici la courbe représentative et le tableau de variation de la fonction inverse:
La double barre dans le tableau indique que zéro est une valeur interdite. Le signe + ou - au dessus de zéro indique que l'on se rapproche de 0 avec des valeurs positives ou négatives.
La représentation graphique de la fonction inverse s'appelle une hyperbole. On constate que plus $x$ est négatif, plus la courbe se rapproche de l'axe des abscisses sans jamais le toucher. On dit que l'axe des abscisses est une asymptote de la courbe en $- ∞ $. On constate la même chose en + ∞ .
La représentation graphique de la fonction inverse se rapproche de plus en plus de l'axe des ordonnées sans jamais le toucher quand x se rapproche de 0 tout en restant négatif. On dit que l'axe des ordonnées est une asymptote de la courbe en $0^{-}$.
Attention on ne peut pas dire que cette fonction est monotone sur ℝ, puisqu'elle n'est pas définie en 0. Elle est décroissante sur l'ensemble des nombres strictement négatifs et sur l'ensemble des nombres strictement positifs. Il en résulte que dans une inéquation, si l'on est dans l'un de ces deux intervalles, le passage à l'inverse change le sens de l'inégalité.
Propriété: Soient a et b deux nombres:
Si 0<a<b alors $1/a>1/b>0$. Si a<b<0 alors $0>1/a>1/b$
Exemple, sachant que $x≠4$ et que $1<1/{x-4}<3$, quelles sont les valeurs possibles pour $x$.
Si nous inversons tout ce qu'il y a dans l'inégalité on obtient $1/{-2}$ et $x-4$ et $1/3$ il nous resterait alors juste à ajouter 4 pour isoler $x$. On applique donc la fonction inverse mais on ne peut pas faire cela sans prendre de précautions.
Si $1<1/{x-4}<3$, la fonction inverse est définie sur ]1;3[ et elle est décroissante, j'inverse donc tout en changeant le sens de l'inégalité:
$1/1>x-4>1/3$, j'ajoute 4 ce qui ne change pas le sens de l'inégalité:
$5>x>5/3$. Attention, n'oublions pas que 4 est une valeur interdite. Or 4 ce trouve dans cet intervalle..il faut donc l'enlever lorsque l'on donne la réponse. $x∈]5/3;4[∪]4;5[$. On peut aussi écrire $x∈]5/3;5[\text"\{4}"$.
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