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EXOMATH, Fonction exponentielle

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Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est la seule fonction qui est égale à sa dérivée avec f(0)=1. C'est ainsi qu'on la définit. On la note exp.

Cette fonction est définie sur ℝ, elle est strictement positive sur ℝ et strictement croissante.

Bien que la manière de définir cette fonction peut surprendre, cette fonction est très utile. Elle permet de traduire les puissances (à l'aide de la fonction logarithme) et joue un rôle très important dans l'écriture des nombres complexes.

Par commodité, on note exp(1)=e^1=e.

Voici les différentes propriétés que vérifie cette fonction (vous remarquerez que ce sont les mêmes propriétés, vues en 3ème, que sur les puissances):

$e^{x+y}=e^x×e^y$

$e^{x-y}={e^x}/{e^y}$

$e^{-x}=1/{e^x}$

$e^{nx}=(e^x)^n$

Voici la courbe de la fonction exponentielle:

Cette fonction croit de plus en plus vite. Dans la vie courante on emploie souvent l'expression, "cela augmente de façon exponentielle" pour exprimer que quelque chose grandit très vite et de plus en plus vite.

On voit clairement les limites en zéro et plus l'infini: $\lim↙{x→0}e^x=0$ et $\lim↙{x→+∞}e^x=+∞$

Cette fonction croit bien plus vite que la fonction f(x)=x. On a:

$\lim↙{x→+∞}{e^x}/x=+∞$

$\lim↙{x→-∞}xe^x=0$

$\lim↙{x→0}{e^x-1}/x=1$

Equivalence: $e^x=e^y$ est équivalent à $x=y$

La fonction étant strictement croissante, il est évident que $e^x<e^y⇔x<y$

D'après le cours sur les fonctions composées, si $u$ est une fonction dérivable sur ℝ, $(e^u)'=u'e^u$.

On peut aussi caractériser autrement la fonction exponentielle par une équation fonctionnelle. La fonction exponentielle est la seule fonction solution de l'équation: $f(x+y)=f(x)×f(y)$ avec $f(1)=e$.