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EXOMATH, Théorème des valeurs intermédiares

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Fonctions et continuité: théorème des valeurs intermédiaires.

Encore un théorème dont l'idée est simple. Si une fonction continue prend ses valeurs dans [m,n] alors forcément je peux atteindre n'importe quelle valeur qui se trouve dans [m,n]...normal puisque je ne lève pas le crayon pour tracer la courbe.

Théorème: Une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a;b]$ atteint toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$: pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un réel $x$ de l'intervalle [a;b] tel que $f(x)=k$.

Si on sait en plus que la fonction est monotone, on n'atteindra qu'une seule fois ce point !

Propriété: Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a,b]. Alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un UNIQUE réel $x$ de l'intervalle [a;b] tel que $f(x)=k$.

Voici une explication graphique: