Acceder directement à la leçon
Encore un théorème dont l'idée est simple. Si une fonction continue prend ses valeurs dans [m,n] alors forcément je peux atteindre n'importe quelle valeur qui se trouve dans [m,n]...normal puisque je ne lève pas le crayon pour tracer la courbe.
Théorème: Une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a;b]$ atteint toutes les valeurs comprises entre $f(a)$ et $f(b)$: pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un réel $x$ de l'intervalle [a;b] tel que $f(x)=k$.
Si on sait en plus que la fonction est monotone, on n'atteindra qu'une seule fois ce point !
Propriété: Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a,b]. Alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un UNIQUE réel $x$ de l'intervalle [a;b] tel que $f(x)=k$.
Voici une explication graphique: