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EXOMATH, Continuité d\'une fonction

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Fonctions et continuité

On parle de continuité lorsqu'un évènement se produit sans qu'il y ait d'interruptions. Pour une fonction, cela se traduit par une courbe représentative que l'on peut tracer sans jamais lever le crayon.

Voici la définition:

Soit $a$ un réel et $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ qui contient a. La fonction $f$ est continue en $a$ si $\lim↙{x→a}{f(x)}=f(a)$.

Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout réel de cet intervalle.

 

Propriété: Une fonction dérivable en un réel $a$ est continue en a. Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

Exemples:

La fonction inverse $f(x)=1/x$ est continue sur $]-∞;0[ et sur ]0;+∞[. Elle n'est pas définie en 0 et on ne peut pas étudier sa continuité sur ℝ.

Voici une représentation de fonction non continue:

 

Voici une représentation de fonction continue: