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EXOMATH,

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Nombres complexes : écriture exponentielle

En notant ρ e i θ, avec e i θ = cos(θ)+i sin(θ) on obtient une nouvelle écriture des nombres complexes : c’est la notation exponentielle .

Cette exponentielle possède bien sûr les mêmes propriétés que la fonction exponentielle.

ρ est le module du nombre complexe et θ l'argument. Pour trouver ces deux nombres à partir de l'écriture z=a+i b on utilise les formules suivantes qui dérivent directement du Théorème de Pythagore et de la trigonométrie :

$ρ = √{a^2+b^2}$ et $θ=arctan(b/a)$ si z n'est pas un imaginaire pur, i.e. a≠0

Exemple : 3 + 5 i = ?

$ρ = √{3^2+5^2}=√{34}$ et $θ=arctan(5/3) ≈1,03 rad$ donc

3 + 5 i ≈ $√{34}e^{1,03i}$.

 

Pour convertir l'écriture exponentielle c'est trivial : $a=ρcos(θ)$ et $b=ρsin(θ)$.

De nombreux problèmes sont plus faciles à résoudre avec cette notation !